Mercatorprojectie: verschil tussen versies

Uit EurosWiki
Regel 1: Regel 1:
#REDIRECT [[mercator projectie]]
+
[[Afbeelding:Kaart_Mercator.png|300px|thumb|right|Mercator projectie]]
 +
[[Afbeelding:Kaart_Oblique.png|300px|thumb|right|Gedraaide Mercator projectie]]
 +
 
 +
De '''mercatorprojectie''' is een manier om de aarde op een plat vlak af te beelden. De mercatorprojectie wordt veel gebruikt voor waterkaarten. Deze projectie is speciaal ontwikkeld voor navigatie op zee. Het voordeel is dat deze projectie hoekgetrouw is. Dat wil zeggen dat een hoek die in de kaart is opgemeten tussen twee lijnen, gelijk is aan de hoek die die twee lijnen in werkelijkheid maken. Belangrijke gevolgen zijn dat een lijn met een constante kompaskoers (een [[loxodroom]]) een rechte lijn is, en dat de schaal in noord-zuid richting gelijk is aan de schaal in oost-west richting. Een nadeel is dat de schaal van de kaart verloopt met de ''[[breedtegraad]]''. Daarom staat in een serieuze kaart in mercatorprojectie ook altijd vermeldt op welke breedte de opgegeven schaal geldt. Een rechte lijn op een kaart in mercatorprojectie is ''niet'' de kortste afstand tussen twee punten. De kortste afstand wordt gegeven door een [[grootcirkel]]route en die is op de kaart een boog.
 +
 
 +
== Het construeren van de projectie ==
 +
 
 +
De mercatorprojectie is af te leiden uit de eis van hoekgetrouwheid. Die vereist dat de schaal in noord-zuid richting gelijk is aan de schaal in oost-west richting. Stel dat de schaal op de evenaar gelijk is aan <math>a</math> meter in werkelijkheid per meter op de kaart, <math>x</math> is de horizontale positie op de kaart en <math>y</math> is de verticale positie op de kaart, <math>\phi</math> is de breedte en <math>\theta</math> is de lengte. De afgeleide <math> \frac{d\theta}{dx} </math> is overal gelijk aan <math>a</math>, maar een radiaal lengte is in werkelijkheid een afstand gelijk aan <math>R \,cos(\phi)</math> waarbij R de straal van de aarde is. De schaal is dus gelijk aan <math>a \,cos(\phi)</math>. Hieruit volgt:
 +
<math>\frac{d y}{d \phi}=\frac{1}{a \,cos(\phi)}</math>
 +
 
 +
Integreren geeft:
 +
<math> y(\phi)=\frac{1}{a} \ln\left(\frac{1}{\cos(\phi)}+\tan(\phi)\right) </math>
 +
 
 +
Mercator heeft hoogstwaarschijnlijk deze uitdrukking niet ter beschikking gehad, maar de kaart geconstrueerd. Een manier om deze projectie te construeren is door de afstand tussen twee ingetekende parallellen steeds gelijk te maken aan de afstand tussen de meridianen gedeeld door de cosinus van de breedte, zoals Mercator in de legenda van zijn beroemde kaart heeft vermeld. Door nu een groot aantal parallellen te tekenen en heel zorgvuldig te werken, ontstaat de mercatorprojectie. Een mercatorprojectie van een klein gebied construeren is veel makkelijker. De afstand tussen de meridianen is gelijk aan de afstand tussen de paralellen maal de cosinus van de breedte. Dit is handig om te weten voor als je een [[plotting sheet]] nodig hebt om je [[astrofix]] in te construeren. Zie verder (en ook voor vrijwel al het andere dat met navigatie te maken heeft) de [[Bowditch]].
 +
 
 +
NB: De hier beschreven projectie wordt ook wel de bol mercatorprojectie genoemd, omdat de aarde als bol wordt beschouwd. In werkelijkheid is de aarde een ellips, maar dat levert ingewikkeldere berekeningen op en als de kaart een niet al te groot gebied bestrijkt, is het verschil verwaarloosbaar klein. De meeste online kaarten, zoals OpenStreetMap en Google Maps, gebuiken de bol mercatorprojectie.
 +
 
 +
== Gedraaide of verschoven mercatorprojectie ==
 +
Voor navigatie nutteloze projectie, omdat de ''polen'' van de kaart zijn verschoven, maar geeft wel leuke effecten. Net als op de ''gewone'' mercatorprojectie is vrijwel de gehele wereld afgebeeld. Ook valt nu pas goed op hoe erg de mercatorprojectie vertekent aan de onder- en bovenzijde van de kaart.
 +
 
 +
==Zie ook==
 +
 
 +
*[[Gnomonische projectie]]
 +
 
 +
[[categorie:navigatie]]

Versie van 24 jan 2014 20:06

Mercator projectie
Gedraaide Mercator projectie

De mercatorprojectie is een manier om de aarde op een plat vlak af te beelden. De mercatorprojectie wordt veel gebruikt voor waterkaarten. Deze projectie is speciaal ontwikkeld voor navigatie op zee. Het voordeel is dat deze projectie hoekgetrouw is. Dat wil zeggen dat een hoek die in de kaart is opgemeten tussen twee lijnen, gelijk is aan de hoek die die twee lijnen in werkelijkheid maken. Belangrijke gevolgen zijn dat een lijn met een constante kompaskoers (een loxodroom) een rechte lijn is, en dat de schaal in noord-zuid richting gelijk is aan de schaal in oost-west richting. Een nadeel is dat de schaal van de kaart verloopt met de breedtegraad. Daarom staat in een serieuze kaart in mercatorprojectie ook altijd vermeldt op welke breedte de opgegeven schaal geldt. Een rechte lijn op een kaart in mercatorprojectie is niet de kortste afstand tussen twee punten. De kortste afstand wordt gegeven door een grootcirkelroute en die is op de kaart een boog.

Het construeren van de projectie

De mercatorprojectie is af te leiden uit de eis van hoekgetrouwheid. Die vereist dat de schaal in noord-zuid richting gelijk is aan de schaal in oost-west richting. Stel dat de schaal op de evenaar gelijk is aan <math>a</math> meter in werkelijkheid per meter op de kaart, <math>x</math> is de horizontale positie op de kaart en <math>y</math> is de verticale positie op de kaart, <math>\phi</math> is de breedte en <math>\theta</math> is de lengte. De afgeleide <math> \frac{d\theta}{dx} </math> is overal gelijk aan <math>a</math>, maar een radiaal lengte is in werkelijkheid een afstand gelijk aan <math>R \,cos(\phi)</math> waarbij R de straal van de aarde is. De schaal is dus gelijk aan <math>a \,cos(\phi)</math>. Hieruit volgt: <math>\frac{d y}{d \phi}=\frac{1}{a \,cos(\phi)}</math>

Integreren geeft: <math> y(\phi)=\frac{1}{a} \ln\left(\frac{1}{\cos(\phi)}+\tan(\phi)\right) </math>

Mercator heeft hoogstwaarschijnlijk deze uitdrukking niet ter beschikking gehad, maar de kaart geconstrueerd. Een manier om deze projectie te construeren is door de afstand tussen twee ingetekende parallellen steeds gelijk te maken aan de afstand tussen de meridianen gedeeld door de cosinus van de breedte, zoals Mercator in de legenda van zijn beroemde kaart heeft vermeld. Door nu een groot aantal parallellen te tekenen en heel zorgvuldig te werken, ontstaat de mercatorprojectie. Een mercatorprojectie van een klein gebied construeren is veel makkelijker. De afstand tussen de meridianen is gelijk aan de afstand tussen de paralellen maal de cosinus van de breedte. Dit is handig om te weten voor als je een plotting sheet nodig hebt om je astrofix in te construeren. Zie verder (en ook voor vrijwel al het andere dat met navigatie te maken heeft) de Bowditch.

NB: De hier beschreven projectie wordt ook wel de bol mercatorprojectie genoemd, omdat de aarde als bol wordt beschouwd. In werkelijkheid is de aarde een ellips, maar dat levert ingewikkeldere berekeningen op en als de kaart een niet al te groot gebied bestrijkt, is het verschil verwaarloosbaar klein. De meeste online kaarten, zoals OpenStreetMap en Google Maps, gebuiken de bol mercatorprojectie.

Gedraaide of verschoven mercatorprojectie

Voor navigatie nutteloze projectie, omdat de polen van de kaart zijn verschoven, maar geeft wel leuke effecten. Net als op de gewone mercatorprojectie is vrijwel de gehele wereld afgebeeld. Ook valt nu pas goed op hoe erg de mercatorprojectie vertekent aan de onder- en bovenzijde van de kaart.

Zie ook